Menggunakan Rumus Sinus dan Cosinus Selisih Dua Sudut
Untuk Menghitung Sinus dan Cosinus Sudut Tertentu
Pada lingkaran
satuan C (lihat gambar a), perhatikan titik A yang merupakan ujung dari kaki sudut α, dan
titik B yang merupakan ujung dari kaki sudut β.
Karena r = 1, maka koordinat dari A dan B secara
berturut-turut adalah (cos α, sin α) dan (cos β, sin β). Dengan menggunakan
rumus jarak, kita dapat menentukan panjang ruas garis AB seperti berikut.Selanjutnya,
juring ACB diputar sedemikian sehingga sisi BC berimpit dengan sumbu-x, seperti yang ditunjukkan oleh gambar b. Hasil putaran
ini akan menghasilkan koordinat baru, yaitu (1, 0) untuk titik B dan (cos (α – β), sin (α – β)) untuk titik A, akan tetapi panjang ruas garis AB tetap sama! Dengan menghitung kembali jarak
titik A ke titik B, diperolehKarena dua
persamaan di atas menunjukkan jarak yang sama, kita dapat mensubstitusikan
nilai AB dari satu persamaan ke persamaan lainnya.Hasil di atas
disebut sebagai cosinus dari selisih dua sudut.
Dengan mensubstitusi –β ke β akan menghasilkan
cosinus
dari jumlah dua sudut sebagai berikut.Rumus cosinus
dari jumlah dan selisih dua sudut di atas dapat digunakan untuk menentukan
nilai fungsi trigonometri dari sudut tertentu (nilai fungsi yang tidak ditulis
dalam bentuk desimal, melainkan dalam bentuk akar). Selain itu rumus tersebut
juga dapat digunakan untuk menyederhanakan persamaan trigonometri dan menemukan
identitas/rumus trigonometri lainnya.
Cosinus dari Jumlah dan Selisih
Dua Sudut
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
sin (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
Untuk memahami penggunaan rumus cosinus dari
jumlah dan selisih dua sudut tersebut, perhatikan contoh-contoh berikut.
Contoh 1: Menentukan Nilai
Cosinus dari Sudut-sudut yang Tidak Istimewa
Gunakan rumus cosinus dari jumlah/selisih dua
sudut untuk menentukan nilai cosinus dari sudut-sudut berikut.
1.
cos 15° = cos (45° – 30°)
2.
cos 75° = cos (45° + 30°)
Pembahasan
1.
Seperti informasi soal, cos 15° = cos (45° –
30°). Sehingga kita dapat menentukan nilai cosinus dari 15° dengan menggunakan
rumus selisih dua sudut untuk cos.
Apabila cos 15° ditulis dalam bentuk desimal 10 angka di belakang koma, maka
cos 15° = 0,9659258263.
2.
Karena cos 75° = cos (45° + 30°), maka cos 75°
dapat ditentukan dengan rumus jumlah dua sudut untuk cos.
Nilai cos 75° juga dapat ditulis dalam bentuk desimal 10 angka di belakang koma
sebagai 0,2588190451.
Selain untuk menentukan nilai eksak dari
cosinus dari sudut-sudut bukan istimewa, rumus jumlah/selisih dua sudut untuk
cos juga dapat digunakan untuk menyederhanakan suatu persamaan. Perhatikan
contoh 2 berikut.
Contoh 2: Menyederhanakan Suatu
Persamaan
Tulislah persamaan berikut ke dalam persamaan
yang hanya memuat cos, kemudian hitunglah nilai cos tersebut: cos 57° cos 78° –
sin 57° sin 78°.
Pembahasan Karena
persamaan tersebut memenuhi rumus cosinus untuk jumlah dua sudut, maka
Sehingga bentuk sederhana dari cos 57° cos 78°
– sin 57° sin 78° adalah cos 135° yang hanya memuat cosinus saja. Selanjutnya,
kita akan menggunakan rumus jumlah/selisih dua sudut untuk cos pada
permasalahan lainnya.
Contoh 3: Menghitung Cosinus
dari Jumlah Dua Sudut
Diberikan sin α = 5/13 dengan α adalah sudut
lancip, dan tan β = -24/7 dengan β adalah sudut tumpul. Hitung nilai dari cos
(α + β)!
Pembahasan Untuk
menggunakan rumus cosinus dari jumlah dua sudut, kita memerlukan nilai dari cos
α, sin α, cos β, dan sin β. Untuk menentukan nilai-nilai tersebut kita dapat
menggambar segitiga yang sesuai dengan informasi soal dan menggunakan Teorema
Pythagoras untuk menentukan nilai-nilai yang dibutuhkan.
Dari gambar (i) di atas kita dapat memperoleh
cos α = 12/13 dan sin α = 5/13. Sedangkan dari gambar (ii), kita dapat
memperoleh cos β = -7/25 dan sin β = 24/25. Sehingga,
Jadi, nilai dari cos (α + β) adalah -204/325.
Semoga bermanfaat, yos3prens.
0 komentar:
Posting Komentar